日历

2025 - 2
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
232425262728 
«月» 2025 - 2 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 9heMy^48l  
CY$%BDOE  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ?)d` D@v  
|I2m+*W8  
　　1、三角函数本质： mJL|>U5W  
%!'Yo3(}  
　　三角函数的本质来源于定义 Shmhac  
rbJe8S1J6q  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 3%\)'dq  
W%U!570!-  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 W};I:4 ]  
6}i i9  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 1x:Gyg{<6  
zt:e |[F e  
　　推导： 8pM!x  
DWgkFtF t  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 v&+esBeI   
oev0M2WL  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) %0 mxl:.  
f195j @  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Ac\F/z61]Z  
zw=JRL  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 @]$k5  
i]O(e #G  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） #YG&KG1n  
gwrl0 =fp  
　　[1] O[>.n815\f  
]K :lf3z5  
　　两角和公式 CM3 (]BI  
qVk]`0vN  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB -Mv={l  
gy5Mj`x  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  +5cbL<{*  
v_,#&B  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB R~=t#C  
djo%@/+P  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB hM'I!s4  
_0sec(#p  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) e"D J@  
<M[yK)9 ^  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) M ]?/wn  
Qj$Hi64,x  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  _Y=nkH%s  
A^[0l>p  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) NTJ*z'n,e  
'63u81|A  
倍角公式 I:];J[+ =  
N;B bf!"  
　　Sin2A=2SinA•CosA qK!SQt~  
YwSl$!@  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 =&t#Yy z\  
\hk-@\c  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） -T4m\wl  
F"6P#j  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 6^#YhGDCg  
E$]O!H"q{S  
三倍角公式 yJyRF   
#o%6  
　　 sd!uAY 1  
d7y&Aod  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) R|.m:%]  
1f4p]{cRc  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) K04<}ed  
@ G _tCy  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) >8~s0  
dx-RWV  
三倍角公式推导 %N719pVm  
lNr<IZ~k  
　　sin3a #zD)A&t|  
.x459w7@  
　　=sin(2a+a) _`NmheV  
L-d- pK  
　　=sin2acosa+cos2asina +vA4 J  
'fDX$&kXh  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina B!_u0e| <  
ii ^sUh]q  
　　=3sina-4sin³a %~;z9%  
l!p9"WHr  
　　cos3a aAV*t&Q  
wtv~W~O0  
　　=cos(2a+a) _gS7^1:X  
G(,\o c.*  
　　=cos2acosa-sin2asina mB)S9  
{>uU}#!s  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ^=mk#I&h  
NIudl'*^W  
　　=4cos³a-3cosa PE.HjG-;  
SVHdQpshEu  
　　sin3a=3sina-4sin³a G",z.-rq?  
~Ngjt"e  
　　=4sina(3/4-sin²a) bUM]O  
a27|&_G  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] : qTuJK  
+z$ogz`  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Jb(js_$  
-gd.e+T{a  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) +dJY\@ 2  
ZO}L*pP  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] v[-~o Ix  
o~i3l/ Pb  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) XGQ._.,~  
CS$7BY81  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ~Ywo*  
$jeheU!Fw  
　　=4cosa(cos²a-3/4) jQRYjm  
QA]d Sv  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] ;3r}1!fC2  
gxE" #[  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) an}T0na*  
r1irgV  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) i.Aweij%!  
le nRJr<  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} +r$O_Z  
:g{4N>B%  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 9)i3=lV  
#j'&COr  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] "xECR-mBuL  
v2dB8:g  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] Gq(spj]  
.U;7A69l  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) X-H4eg P<%  
AYg+{C  
　　上述两式相比可得 ""$T:^v.  
tTnSb   
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) R9pMcU  
6C{[Lew9  
半角公式 H%h6JK9x:  
<jN"2VU d  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); `p"@:jG  
9H[;ZA?\  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. TuaZrK  
b\Lt &N  
和差化积 z$Rp6]w4  
dsp  :lba  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] #1V$4(i[2  
_fhp:Kj[S  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dLhXb9/x7!  
joo=Twdw  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] l\lD/7MEL  
5X=[YT[m8  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] h>?f&BePU  
*9q`5FLRH  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) (x~e}wB  
f+d;q  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ;)_GNe<JM  
x.p4>y. d%  
积化和差 C^RfJ5 q  
j}\QLNL@x  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] T\;#@}K"<  
Pz#WQ D  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] GZ"vw}C  
PI:7|  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ct,1*V  
EJIh6a=  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] s\U2q0R  
,"o/()$>Ee  
诱导公式 [-f/o?0~"  
t5>Sq8o/8  
　　sin(-α) = -sinα hF2p@c=)  
:2f*{IV  
　　cos(-α) = cosα )(WO[W/ z  
p>L  IgB  
　　sin(π/2-α) = cosα |w-P(lf*  
{Kjlx<kb  
　　cos(π/2-α) = sinα 4<wF=ka+x  
eZ_I1 e$  
　　sin(π/2+α) = cosα $Qo]U*/\  
s%UaK]a*$  
　　cos(π/2+α) = -sinα 11JjGtQ  
=P.3 @sR  
　　sin(π-α) = sinα fKC,`\&7  
e[B# Zy]  
　　cos(π-α) = -cosα &]6U9oT\"&  
/}e6"mD?3  
　　sin(π+α) = -sinα ]_=^>JWl  
ny9zpKu3  
　　cos(π+α) = -cosα XnHZaZ>  
yNf;I^zw!  
　　tanA= sinA/cosA WFa_VdNw  
{2=rk%,  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ecLghi  
d{rh H,Es  
　　tan（π/2－α）＝cotα v LvDXeZ}  
\,7 ncXZ^z  
　　tan（π－α）＝－tanα QV6p16+  
#|W Jw$e  
　　tan（π＋α）＝tanα Q_Sx [  
p d>.0xJ3J  
万能公式 dE 4l9  
U@dgmw  
　　 *A/4wfuq  
/ =Zy$hA  
其它公式 XEn8br dY7  
q M] YT  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 Ow3z <H#n  
u'}nSf  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 t7o??z;)C  
'zaZ:=S4T  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 {JIX;Dx  
_3E-d^  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 X|)H-l1=  
n0<fS]hE  
　　对于任意非直角三角形,总有 2dlseK;Q+3  
}>}B3<@[c  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC (l%]>t6kD  
FJbY  
　　证: IH#T 3 DU  
3BKN77]#z  
　　A+B=π-C iek2/cbK  
($o 9:5  
　　tan(A+B)=tan(π-C) W}|G`1BU  
7uFBn*!42  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) bO =l=Pl)  
(Y3(B<?Cd  
　　整理可得 sd<xY|!i  
wUgILOG  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC qHf>pj/WPm  
+5nfj_i  
　　得证 {r) W\|  
+Rs{ =gi_d  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 m$%HwO[v  
)?Ou3kY  
其他非重点三角函数 O&>wS_N  
o'5/Fe|  
　　csc(a) = 1/sin(a) <r^W.#m;  
xy0ZB] Y5  
　　sec(a) = 1/cos(a) 7Lr"`.:  
tA&S.l4/  
　　 "01 LTt k&  
[7RM` w+\  
双曲函数 r1spwYR  
t nRi rl  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 mqi2p8  
-9 Hw[6|zG  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 FK,1 !w[  
cvb{kqk5JH  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) B=G1\[*p  
K5Td5 !Q  
　　公式一： xie=li6x  
msuki-V  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： rN5;n%M  
Q4,%T8N>  
　　sin（2kπ＋α）= sinα kIakD ~r!  
E`,F 8h L\  
　　cos（2kπ＋α）= cosα 5.&=`-q  
Uq=Y+ZN}[Z  
　　tan（kπ＋α）= tanα 0G5D:  
T:D%oS-gV  
　　cot（kπ＋α）= cotα 8Knj#A-n4  
';TYP +  
　　公式二： n|t?LK"|  
`.cctno  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： `TVGm*!Bz:  
=j{$PtHGi  
　　sin（π＋α）= -sinα mP~)H"je  
. *I]y  
　　cos（π＋α）= -cosα No,'X(s  
[ xAHwhI  
　　tan（π＋α）= tanα aTwp%,,w  
((>jsRBG  
　　cot（π＋α）= cotα = N2[!(  
_? SZ!os  
　　公式三： @3`&/ !O  
;23*%QD6w  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：  38kDM+n1  
A2#fiX0x  
　　sin（-α）= -sinα v0<d ~  
5hXoT>&|5]  
　　cos（-α）= cosα QXT Z/7g*  
6p 7B`6L  
　　tan（-α）= -tanα =C4'r[q  
GCFSP8wZ  
　　cot（-α）= -cotα om6 E4Yp  
7L[d o(a  
　　公式四： QuXBEU >  
ZO}rH<  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Q{?)00=G  
<o(~1[|YL  
　　sin（π-α）= sinα PAC^M vB6  
zkL8'? >]  
　　cos（π-α）= -cosα " @^0ve{  
ed%:0 Y_  
　　tan（π-α）= -tanα H'<t6^v |  
;2qVnoT`  
　　cot（π-α）= -cotα 9|\V<78[P&  
Xz9rv^U  
　　公式五： 2Lh14l  
phym*yYM   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 2H"{ .^}  
mNQfc"`=,  
　　sin（2π-α）= -sinα  Cn_*+  
. u7 5F,  
　　cos（2π-α）= cosα  Ix~gJAY*  
eY2[>_YEZ  
　　tan（2π-α）= -tanα k5:juY4  
BD9; 1D&  
　　cot（2π-α）= -cotα OS_'+x,$Z  
?oL*J .  
　　公式六： 6Ds{ZfK  
jXE|7QoJ}O  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： /v(E  
DnYciXK$  
　　sin（π/2+α）= cosα zn! BY4h  
i[ \sl3x*  
　　cos（π/2+α）= -sinα ~-Wy-CX  
2mJx!)<  
　　tan（π/2+α）= -cotα >*nWQCWE  
xVKuGFc  
　　cot（π/2+α）= -tanα 963NmoR1J(  
;PXwL82Oi2  
　　sin（π/2-α）= cosα $^,juDT9y  
M;e=fX?U  
　　cos（π/2-α）= sinα w5=Ut).}  
p8sl'*l'  
　　tan（π/2-α）= cotα F!*/ ZhG.  
&p#Qhe  
　　cot（π/2-α）= tanα [n$fy YX  
;4YDlHk E  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 436)ob(^g  
8^a'X{  
　　cos（3π/2+α）= sinα *gkp]v,  
#KY>xp[M7  
　　tan（3π/2+α）= -cotα I4iUK  
>XB~lif  
　　cot（3π/2+α）= -tanα Tb`Vz\ n3  
01${,4k  
　　sin（3π/2-α）= -cosα f3]W5H3 ~D  
l"<^Z +  
　　cos（3π/2-α）= -sinα `m'hh=  
o?_xOc]J  
　　tan（3π/2-α）= cotα .5+C2j  
W$1^04  
　　cot（3π/2-α）= tanα )c Nl\hi"  
&\A#Y1#  
　　(以上k∈Z) Hz#?mf}9~  
Evi.)_g  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 cV x,B{XX  
`]og/?j=  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = )I9f:  
\G:F#_]2  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Aef_(sMN<  
2[.GTx0(  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15386) |  收藏