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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 =cg&rav,/E  
@&:o  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. wP,vD98X>  
H S9*`VoP  
　　1、三角函数本质： ,+cmo\;  
{S:QazCI  
　　三角函数的本质来源于定义 V^r9W@H  
K]_ =tm  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ) G#f.  
2} ck=DWG  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 Sdidh!qv  
(~]^s ZH^t  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 5$GLSYe0  
)^h >wPy  
　　推导： `p[{ Dp@  
[hq upR  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 vHgFaZi9J2  
#ju|,reu  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) S5]_ w|  
wFFG O  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) &H8FU-5j;  
xH:D  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ?$+}(zh  
L\}"#)E}n  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ^K=aG Ff,  
N3!+^4Jb7  
　　[1] Uh*DF_qq  
i\92WY&WI6  
　　两角和公式 }j4peE.k-  
m6tZM/o/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ~%ACOj  
#TJy.O0  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  L]2NZ/#09  
7:R:9BV+=  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB (g}X-T@S  
4)tg+`W6  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 4uC-KbI@d  
Tk1f06ODB  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) L 6C"@|ez  
ulr>!ZOy;  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) w},fM&aQD  
wsMi_w$`Y`  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  x{zCb w,Q  
NB1YRP<  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) u'kpQA+  
z]1Yk ) X  
倍角公式 \U+Yn2WH  
?KN-Y  
　　Sin2A=2SinA•CosA r:Es8NG  
,4FA V!f  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ?@V 8zn'  
r.z 19pR  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） t)y{|Fob  
6RU1G  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） zM|oR+s%  
]P:t$!  
三倍角公式 ~ fOv+C@=j  
b&wdry{  
　　 ,W^N* L !  
jN5/@~6  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) p%~C^CYKW  
6}fMx[/(  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) #qM}!64TW  
4 7 +ph  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)  +J:|Y  
iTjG-%3  
三倍角公式推导 J} \ g5F6  
I@Vk E  
　　sin3a FQMcoL'  
Pr<["ma  
　　=sin(2a+a) x>&A>M"  
l.OvKEt  
　　=sin2acosa+cos2asina 1U "1,'Z  
cYFI26)  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina v2[r y)l  
WY\y[<  
　　=3sina-4sin³a T[D\di $  
_.G !{  
　　cos3a CMP1k0 r  
kMSf}h=  
　　=cos(2a+a) iO>7-7~v+  
tZy 3s~Cl  
　　=cos2acosa-sin2asina 7 ZwJy  
<(q^Lb  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa %{&t\CL]  
UqYqPu,|  
　　=4cos³a-3cosa 1,&B=7Hm|  
K Onqz}<H  
　　sin3a=3sina-4sin³a M\^T}0~B  
#cJbM'1)X  
　　=4sina(3/4-sin²a) a.Heow~L<  
s)@],t`dz  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] J3]\DK  
z-0,EwCk  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) P#V-e"4  
$1?d0K/T  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) n E$\=t0  
0+8+;^:{  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] jvjtn(<  
;wAtI^2j  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) l 4s6J#^  
|&Ex8~}W  
　　cos3a=4cos³a-3cosa =x\[2(mS8  
88bh5<y -  
　　=4cosa(cos²a-3/4)  DM+#'h  
2\vI&K.=  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] |(DbW6 .  
~6T lnmW  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) \jRG eO~  
\o- tbM  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) <\ JRb  
/t2qdT/31  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} +lN % 4 ;  
lZ8 _zr  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) E0,]~LUwK0  
0%DZ|F )_  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] K=} 15^[p  
xXF-)s]5q  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ;p*qG\]"  
^FU 70-?#  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) $8@= "J=  
+.fA_0a;  
　　上述两式相比可得 |7Y P$~lY>  
2`'I>#6  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ZbUR[Gr`  
tAT0Uz+C;1  
半角公式 .wa yI  
LycOY,nB  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); d8eFACX  
# 7l3<Ra  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. K<j>Uw|  
(.}P6"+[PF  
和差化积 iPEsn"ElPI  
"0+M _o~  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 0r:T6+ 8  
w>>*NHK&3  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] -acwO|&}1'  
zTL~ A  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] (WFD_U@  
l)T@}6G(x  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $msk #M!  
09{9xWgP,  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) Z,mz b Ka  
^ ] k.k8  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) f-B!*]0  
&lPq  
积化和差 tQyuOx   
p6;:51^m  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ryQykv{a  
1 dkNWy  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] H9!@9o 6  
JSrZF[h  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ">` m  
J!C5pA V  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ;s8p,O*Mo  
FKjzp u*  
诱导公式 }J ^5@  
t-h"b;Eh  
　　sin(-α) = -sinα 5\*WN$wGC  
~L#D|2 %  
　　cos(-α) = cosα 5qGKd N^  
0 =cv;r  
　　sin(π/2-α) = cosα Z@ }9}C  
p6T.q h(  
　　cos(π/2-α) = sinα &8EG  
D._y7C6  
　　sin(π/2+α) = cosα jS1#F-B  
j:0FD'B  
　　cos(π/2+α) = -sinα x:0e\+_S`  
*7(_ umW  
　　sin(π-α) = sinα lO 9h3'^9v  
QIK!~yYb  
　　cos(π-α) = -cosα OM<\^?  
!y9R[o  
　　sin(π+α) = -sinα >yi0\>k~`  
1 E")  
　　cos(π+α) = -cosα b%-H4t$w  
%mEYl" 4*  
　　tanA= sinA/cosA <`U?gIO  
o:fJT7e  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα AG'i;@4Q  
#V4PMux  
　　tan（π/2－α）＝cotα Z@BH0RBx  
@Jd6YB   
　　tan（π－α）＝－tanα &u3U/qew (  
'y hM^5T$'  
　　tan（π＋α）＝tanα *j97 ^ #  
hDg\m  
万能公式  zgW[9q_  
Z3bG CjdSc  
　　 $YCA@^  
7eHa5wKE1  
其它公式 ,:q}@lu]d  
nL9ARay6$  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 JW*6N"{Z  
DFju)P#TL6  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 FFrl6Cu'-(  
'@;aJK/  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 >,gFfQX+0  
}ux)MWw[b  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ~[I(W|k  
V|a81+S D  
　　对于任意非直角三角形,总有 }@X .01~T  
/Q{ zg<sj  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P]wtF v@^  
M ?N3?d|  
　　证: moXH u$C  
8v @ 0$  
　　A+B=π-C h.= j:1  
FvPr"S6  
　　tan(A+B)=tan(π-C) R'C[-@  
k7& ?  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Ke *BD8px  
q+ZB  
　　整理可得 &G0k m  
2+ ~$"tn  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC S.Vv-< R5  
o1z+ #25  
　　得证 \e&L0Qd%  
(cf$!9R  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 h3KLO]~O G  
SZ 7T/  
其他非重点三角函数 *^=[f  
<,~$w]_$(  
　　csc(a) = 1/sin(a) TC6a]I  
g:l7oP  
　　sec(a) = 1/cos(a) y9=Kr  
j,TchyW  
　　 Q#@rH#D/  
-hqn!eY_  
双曲函数 N[wNyTH  
,_#x}  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 9]sNY-8k  
;Z*0!Kl<P  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 MICQUoy  
GO*x"  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ?/[n?4zQ  
'aB 0cqB  
　　公式一： 0qgZfG  
atl-LTE  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： eSG$Np  
= 3iAF-  
　　sin（2kπ＋α）= sinα H\c]!WsGs  
0dU3ZM1  
　　cos（2kπ＋α）= cosα itA(k0CH@  
0f1[Zr  
　　tan（kπ＋α）= tanα `jb,7.P  
O S[1  
　　cot（kπ＋α）= cotα b!-fNC_  
].<Wb]l  
　　公式二： #m >O[Q"[  
(-qKOt d#x  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： FHU~qT|  
|_0*I%  
　　sin（π＋α）= -sinα Q zj-F  
c7 FLLJ&/  
　　cos（π＋α）= -cosα IfSdSxr  
$(& %7Y1  
　　tan（π＋α）= tanα !'J`"jX M  
3+ !}Cs&  
　　cot（π＋α）= cotα qc<];P@C|  
RB.88Q,U  
　　公式三： LiA?iG  
$d:|(mh@4Q  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 4@(]O8EDZ  
*PR]9C:  
　　sin（-α）= -sinα +kH<w(  
jewumZ|8  
　　cos（-α）= cosα qDk7xbQ/  
O4 Cba  
　　tan（-α）= -tanα .]j[z[ @  
CK_jPo+&o  
　　cot（-α）= -cotα [LlSFJj.w  
hj<.jG_O  
　　公式四： ;B=57lOJi  
58o N5  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： '9+>f`!  
VxmKEVO|  
　　sin（π-α）= sinα .0(1H]xpG;  
kPV/my)C#  
　　cos（π-α）= -cosα DK~#'lI  
X5W)gM\4^T  
　　tan（π-α）= -tanα ]\H)p/'  
)mt#m|`99  
　　cot（π-α）= -cotα 363a+A  
bD(eUT~  
　　公式五： fg*:qLjhX  
qZX#fFWm)/  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： QCnm6ye%@  
u,F64Q$89  
　　sin（2π-α）= -sinα y Z:d sRc  
}`$M}N:@  
　　cos（2π-α）= cosα UW(YI'0A  
Yo$F@N-   
　　tan（2π-α）= -tanα ,]h4lELf  
%2;ho/bG  
　　cot（2π-α）= -cotα )];'pKn0  
4>(v6X5T(d  
　　公式六： Y2Qd4/{M  
Z@$<D{v  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： OK3;D U0  
(;H  
　　sin（π/2+α）= cosα 6!fj_A  
]W[gM  
　　cos（π/2+α）= -sinα aZLP10ux  
'.b,j|  
　　tan（π/2+α）= -cotα <nlOb'4  
/`"j -~PK=  
　　cot（π/2+α）= -tanα [gI'Y (,c  
.}\)!]<`WR  
　　sin（π/2-α）= cosα iGV)/g$n  
/BWbU8:t  
　　cos（π/2-α）= sinα nfMOI^qs  
_ aFPlFg  
　　tan（π/2-α）= cotα }<aK3d9  
SkF<Ap<<  
　　cot（π/2-α）= tanα +lxr_^   
D'W,:E  
　　sin（3π/2+α）= -cosα +fI{X.  
r|Bb=y~]\  
　　cos（3π/2+α）= sinα EaWR&x  
U PvNV> G  
　　tan（3π/2+α）= -cotα {""RrT7AL  
`#F-9c<Z1  
　　cot（3π/2+α）= -tanα @ @4Bci;  
d Mrpn1|  
　　sin（3π/2-α）= -cosα \y*=Q?v  
q'hlB   
　　cos（3π/2-α）= -sinα !dK ^T  
ih)dsBH.  
　　tan（3π/2-α）= cotα wH7 K38~  
_c<3V(SS  
　　cot（3π/2-α）= tanα =i2ASO *  
B7M4ylH+uo  
　　(以上k∈Z) JB\_h9s  
cn:Zg23.  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 A)O3e1Q 1  
<>#*]??%>  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = G!"CCX"(\  
`(wyWU3N  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } .~X}JZY  
3wV 8*Ti)  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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